A GÖMBÖC

Mi a Gömböc?

A Gömböc az első ismert homogén test, melynek egy stabil és egy instabil, azaz összesen két egyensúlyi pontja van. Bizonyítható, hogy ennél kevesebb egyensúlyi helyzettel rendelkező test nem létezhet.

 

 

A stabil egyensúlyi pont (S)
A Gömböcöt bárhogy tesszük le, mindig a stabil egyensúlyi pontjába (S) tér vissza. Így viselkedik a keljfeljancsi is. Míg a keljfeljancsi visszaállása egy nehezéknek köszönhető, a Gömböc csupán egyetlen, homogén anyagból készült, ezért maga a forma biztosítja talpra állását.

 

Az instabil egyensúlyi pont (I)
A Gömböc gerincének tetején található az egyetlen instabil egyensúlyi pontja (I). Ebben a helyzetben elvileg képes lenne megállni, de a legkisebb zavarás hatására elbillen onnan, hasonlóan egy hegyére állított ceruzához. 
A kérdést, hogy vajon létezik-e ilyen test, V.I Arnold, orosz matematikus vetette fel 1995-ben, egy hamburgi konferencián Domokos Gáborral folytatott beszélgetés során.

 

 

Matematikai háttér
 
A Gömböc egy konvex, homogén anyagú test, amelynek 1 stabil és 1 instabil egyensúlyi helyzete van vízszintes felületen. Inhomogén anyagból könnyű Gömböc-szerű testet készíteni, ilyen például a keljfeljancsi. A konvexitás is fontos kikötés: a konkáv testek nem mindig a felületükön gördülnek, emiatt konkáv Gömböcöt is könnyű létrehozni.
 
Konkáv, Gömböc-szerű, testek síkban
Az egyetlen stabil helyzettel rendelkező formákat monostatikusnak nevezzük, az egyetlen stabil és egyetlen instabil egyensúllyal rendelkező formákat pedig mono-monostatikusnak. A Gömböc tudományos néven tehát az első konvex, homogén mono-monostatikus test.
    
    
Két dimenziós Gömböc
Minden 2 dimenziós konvex alakzat leírható súlypontja (G) körüli poláris koordinátarendszerben egy R(a) függvénnyel. Vízszintes felületre helyezve minden test úgy kezd gördülni, hogy a súlypontja alacsonyabbra kerüljön, tehát úgy, hogy a felülettel érintkező pontban R csökkenjen. A test akkor van egyensúlyban, ha a felülettel érintkező pontjában dR/da = 0. Az egyensúly stabil R minimumainál (d2R/da2 > 0) és instabil a maximumhelyeken (d2R/da2 < 0). Mivel az R függvénynek felváltva követik egymást a lokális minimum és maximumhelyei, ezért a stabil és instabil egyensúlyi helyzetek száma egyenlő. Ezen kívül
       
1. Tétel:
minden síkbeli konvex, homogén testnek legalább 2 stabil és 2 instabil egyensúlya van.
                       
Ha lenne olyan test, amelynek csak 1+1 egyensúlya van, az ahhoz tartozó R(a) függvény diagramja egyetlen minimumot, illetve maximumot tartalmazna. Ekkor egy R = R0 vízszintes egyenessel a diagram kettévágható lenne úgy, hogy a függvény R > R0 és R < R0 részének is p hosszúságú a vízszintes vetülete. Ez megfelelne az eredeti test súlyponton átmenő egyenessel való kettévágásának egy sovány (R < R0) és egy kövér (R > R0) részre. Ez viszont azt jelentené, hogy a súlypontnak a "kövér" oldalon kellene lennie, nem pedig középen. Mivel a súlypontnak középen kell lennie, ellentmondásra jutottunk - tehát a tétel igaz.
 

 
Az R(a) diagram (baloldalt) és az annak megfelelő test (jobboldalt).
 
Síkban tehát nem létezhet a Gömböcnek megfelelő test. Ez a meglepően egyszerű állítás egy régóta ismert matematikai tétel fizikai megfelelője:
  
Négycsúcs tétel:
Egy egyszerű, zárt síkgörbe görbületének legalább négy lokális szélsőértéke van.
    
A Négycsúcs-tételnek számtalan általánosítása és közeli rokona van a geometriában, amelyeket néha együttesen hívnak Négycsúcs-tételeknek. Ha térben nem létezne Gömböc, az is a 'Négycsúcs-tételek' közé tartozó eredmény lehetne.
     
  
A Gömböc alapötlete
A síkbeli testekhez hasonlóan, a térbeliek egy súlypont körüli gömbi koordinátarendszerben adhatók meg, R(j,q) alakban.

Térbeli test megadása gömbi koordinátarendszerben.
R lokális minimumai és maximumai itt is stabil, illetve instabil egyensúlyoknak felelnek meg, de a test egyensúlyban van R nyeregpontjaiban is. A Poincaré-Hopf tétel szerint a háromféle egyensúly száma gömbbel izomorf testek esetén ki kell, hogy elégítse az s+i-n=2 egyenlőtlenséget. Az 1. tételnek térben több megfelelője képzelhető el:
  • a) s > 1,
  • b) > 1,
  • c) s + i > 2,

ezek közül a) és b) könnyen cáfolható:

s > 1 nem igaz, íme egy ellenpélda, amelyre s = n = 1, i = 2: 

i > 1-re is egyszerűen lehet ellenpéldát találni: ennél a testnél i = n = 1, s = 2:
A harmadik lehetőség maga a Gömböc kérdése: létezik-e olyan térbeli konvex, homogén test, melyre s = i = 1 (és emiatt n = 0)? Megpróbálhatjuk alkalmazni a síkbeli bizonyítást annak igazolására, hogy nincs ilyen. Ha lenne ilyen, akkor R(j,q) -nak egyetlen lokális maximuma és minimuma lenne. A test felülete ez esetben is kettéosztható lenne egy R = R0 szintvonallal egy kövér és egy sovány részre, amelyek azonos nagyságúak (azaz G-ből nézve azonos nagyságú térszögben látszanak). Ha ez a szintvonal egy síkgörbe (azaz kör), akkor a síkbeli esethez hasonlóan ellentmondásra jutunk. Lehet azonban térgörbe is, mint például a teniszlabdák felületéről ismert vonal. Ez esetben hiába osztja fel a vonal a testet pl. egy felső "kövér" és egy alsó "sovány" részre, ebből nem következik, hogy a súlypontnak a felső oldalon kell lennie. A síkbeli bizonyítás tehát térben nem alkalmazható.
 
Egy térbeli test kövér (sárga) és sovány (zöld) részét elválasztó 
vonal síkgörbe is lehet, de nem feltétlenül az.

 
A bizonyítás "sikertelensége" ad támpontot arra nézve, hogy ha létezik térbeli Gömböc, akkor az hogyan nézhet ki. Ebből kiindulva sikerült egy olyan két paraméteres zárt képletet létrehozni, amelyről analitikusan bizonyítható, hogy létezik olyan paraméter-pár, ahol az eredményül kapott testre s = i = 1. Sajnos a kapott test konvex is kell legyen, és ez a képletünknél csak úgy lehetséges, ha a forma észrevehetetlen mértékben tér el a gömbtől. Ezzel a Gömböc létezése elméletben bebizonyosodott, de kézzelfogható forma léte továbbra is kérdéses maradt.
     

Az analitikus bizonyításhoz használt két paraméteres test-család néhány tagja. 
   

A kézzelfogható Gömböc
Az elméleti Gömböc megalkotása után felvetődött a kérdés: vajon miért csak elvben sikerült Gömböcöt előállítanunk? Vagy a konstruált képlet nem volt elég jó, vagy valami mélyebb oka van a sikertelenségnek.  A tény, hogy a Gömböc-szerű formák bizonyíthatóan gömbszerűek, valamint az ilyen típusú formák hiánya a rhodoszi kavicsokban azt sugallta, hogy valami miatt nincsenek markáns, a gömbtől jelentősen eltérő formák, melyekre s = i = 1. Mégis az derült ki, hogy más oldalról megközelítve előállítható egy gyakorlatban létező Gömböc is. Az alábbi konstrukció a fenti teniszlabdás ötleten alapszik; egyszerű másodrendű felületekből (henger, ellipszoid, kúp) és síklapokból épül fel. Az új test nyilvánvalóan konvex; numerikus integrálással kimutatható, hogy a súlypontja kicsivel az ábra origója alatt van, és ebből egyszerűen belátható, hogy valóban mono-monostatikus. Természetesen végtelen sok hasonló tulajdonságú forma létezik, az ábra ezek közül egy változatot mutat. Az eddig elkészült Gömböcök abban térnek el ettől a verziótól, hogy több felületből állnak, ezzel stabil egyensúlyuk stabilabb és működésük is látványosabb. 
 

A Gömböc felületét felépítő egyszerű felületdarabok
 
 

A Gömböc R=konstans szintvonalain jól látható a teniszlabda-forma.
 

Irodalom:
1. G. Domokos, J. Papadopulos, A. Ruina: Static equilibria of planar, rigid bodies: Is  there anything new? Journal of Elasticity  36 pp. 59-66, 1994. 

          - annak bizonyítása, hogy nincs 2D-s Gömböc 

2. P.L. Várkonyi, G. Domokos:  Static equilibria of rigid bodies: dice, pebbles and the Poincare-Hopf Theorem. J. Nonlinear Sci. Vol 16: pp 255-281, 2006.

- A Gömböc létének elvi bizonyítása
- A testek elméleti osztályozása az egyensúlyok száma alapján
- Valódi kavicsok osztályozása Rodoszon - nincs köztük Gömböc
- A Kolumbusz algoritmus
- A 2D-s Gömböc nemléte és a négy csúcs tétel közötti kapcsolat.
  
3. G. Domokos: My lunch with Arnold. Mathematical Intelligencer 28 (4) pp. 31-33, 2006.
 
- Arnold és a Gömböc sejtése
   
4. P.L. Várkonyi, G. Domokos:  Mono-monostatic bodies: the answer to Arnold's question.  Mathematical Intelligencer 28 (4) pp34-38 (2006)
  
- a kézzelfogható Gömböc
- a Gömböc gömbszerűsége
- a Gömböc és a teknősök kapcsolata
 
 

Érdekes tulajdonságok

 

 
 
A Gömböc és a Gömb
A Gömböc és a gömb közeli rokonsága bizonyítható. Minden test lapossága és hosszúkássága számszerűsíthető, mindkét szám minimális mértéke 1. A Gömb lapossága és hosszúkássága éppen 1. Bizonyítható, hogy ugyanez igaz a Gömböcre is. Minden más típusú testnél a laposság vagy a hosszúkásság meghaladja az egyet. A Gömböc tehát a leginkább gömbszerű test, innen ered a neve.

Érzékenység
A Gömböc forma nagyon érzékeny, egészen kis mértékben megváltoztatva is elvesztheti egyedi tulajdonságát. A fényképen szereplő példány egy tervezési hiba miatt néhány milliméterrel szélesebb lett a kelleténél. Az eredmény: egy helyett 16 stabil egyensúly. Egy-egy teknőspáncél is ehhez hasonlóan viselkedik, ami azt sugallja, hogy ezek a formák egy, a Gömböchöz hasonló alakzat tökéletlen változatai.  
 

 
A Gömböc a természetben
Minden bizonnyal érzékenysége okozza, hogy az élettelen természetben (pl. kavicsok között) nem, vagy csak nagyon ritkán található Gömböc típusú forma. Az élő természetben azonban az evolúció létre tudott hozni stabilan ilyen típusú formákat, ilyen például az Indiai csillagteknős páncélja. A magas boltozatú páncél felborulás esetén segíti a teknőst a talpra állásban.
 

 
A Gömböc mint "őstest"
Ha a formákat aszerint csoportosítjuk, hogy hányféle egyensúlyi helyzetük lehet egy vízszintes felületen, akkor a Gömböcből előállíthatjuk bármelyik csoport tagjait. Fordítva viszont nem igaz az állítás: a Gömböc létére nem lehet következtetni más formák létezéséből. Szoros az analógia a gyógyászatban használt őssejttel, melyből tetszőleges típusú sejt előállítható differenciálódás által, maga viszont nem állítható elő bonyolultabb sejtekből.
A testek osztályozhatók stabil (s) és instabil (i) helyzeteik alapján. Ezt táblázattal is szemléltethetjük, ahol a sorok az stabil, az oszlopok az instabil egyensúlyok számát jelölik. (A harmadik, ún. "nyereg" típusú egyensúlyok száma az előző kettőből egyértelműen meghatározható: s + i - 2). A kavicsok többsége a (2,2)-es cellába tartozik. A szabályos tetraéder (4,4)-es: 4 lapján stabilan áll, 4 csúcsán instabilan, 6 élének bármelyikére állítva pedig nyereg típusú egyensúlyban van, azaz eldől ha hagyjuk, de csak az egyik irányban. A táblázat (1,1)-es "őseleme" a Gömböc.
Az egyensúlyi helyzetek száma kis változtatással növelhető. Ha egy kocka egy csúcsából egy kis darabot ügyesen levágunk, már megállítható rajta. Ugyanígy működik Kolumbusz asztalhoz koccantott tojása is.  A táblázatban tehát jobbra és lefelé biztosan haladhatunk - ezért hozható létre a Gömböcből tetszőleges számú egyensúlyi helyzetű test. A táblázat többi eleméből viszont nem lehet a Gömböc létére következtetni, hiszen visszafele irányban már nem működik a "Kolumbusz algoritmus".
 
Konvex testek osztályozása egyensúlyi helyzeteik szerint (s = stabil, i = instabil, n = nyereg = s + i - 2)

 
 
 
 
Feltalálók
 
Domonkos Gábor

Várkonyi Péter


Domokos Gábor 1989-ben szerezte kandidátusi fokozatát. Jelenleg a BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti tanszékének
vezetője, egyetemi tanár, 2004. óta akadémikus. Székfoglaló előadásában Arisztotelésszel beszélgetett az irracionális számokról.
Ösztöndíjasként járt a Marylandi Egyetemen, a Cornell Egyetemnek
pedig címzetes egyetemi tanára.
Philip Holmes-szal közösen kutatta
a diszkrét és folytonos dinamikai rendszereket. A káosszal és
populáció-dinamikával is foglalkozik. Szabadidejében rajzol, fotózik vagy kirándul.

Várkonyi Péter a Fazekas
gimnáziumban éretségizett; 1997-ben
a Nemzetközi Fizikai Olimpián
ezüstérmet szerzett. Építészmérnökként diplomázott a BME-en. Doktori
fokozatát 2006-ban szerezte,
témavezetője Domokos Gábor volt.
Szerkezetek szimmetriájával,
biomechanikával és az evolúció
modellezésével foglalkozik.
A 2006/07-es tanévben a Princetoni
Egyetemen Korányi ösztöndíjas,
azóta a BME Szilárdságtani és
Tartószerkezeti tanszékének adjunktusa. Szabadidejét, felesége és két kisfia
mellett, szívesen tölti úszással,
vitorlázással, tollaslabdázással.